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1、高三数学试题答案（第 1 页，共 6 页）20242025 学年度第一学期期中学业水平诊断学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学参考答案高三数学参考答案 一、选择题：一、选择题：1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.C 二、选择题二、选择题 9.AC 10.ABD 11.ABD 三、填空题三、填空题 12.13 13.6,2 14.0或1（任选一个答案即可），(,1)(2,)+四、解答题四、解答题 15.解：（1）因为(cos,1)x=a，3(sin,)2x=b，所以()()f x=+ab a21cossin cos2xxx=+1 分 1 cos211112sin2si
2、n2cos2sin(2)2222224xxxxx+=+=+=+，3 分 令2 22 242kxk+，k Z，4 分 解得388kxk+，k Z，6 分 所以函数()f x的单调递增区间为3,8,8kkk+Z.7 分（2）因为(0,)2x时，52(,)444x+，8 分 所以2sin(2)124x+，10 分 所以1()2f x ，11 分 因为当(0,)2x时，()f xm，所以12m .13 分 16.解：（1）当2a=时，2()e2xf xx=，所以2()2e2xfx=，1 分 设过点(0,0)且与函数()f x图象相切的的切点为00(,)xy，则该切线的斜率020()2e2xkfx=，2
3、 分 又0200()e2xf xx=，高三数学试题答案（第 2 页，共 6 页）所以切线方程为002200(e2)(2e2)()xxyxxx=，4 分 将(0,0)代入，得002200e2(2e2)()xxxx+=，解得012x=，6 分 代入上述方程，整理得切线方程为(2e2)yx=.7 分（2）因为2()e(2)exxf xaax=+，xR，所以2()2e(2)e(2e)(e1)xxxxfxaaa=+=+，8 分 因为0a，令()0fx=，解得0 x=或ln()2ax=.9 分 所以当20a 时，ln()02a，所以当(,ln()(0,)2ax+时，()0fx，故函数()f x在(,ln(
4、)2a和(0,)+上单调递增；当(ln(),0)2ax时，()0fx，故函数()f x在(ln(),0)2a上单调递减.11 分 当2a=时，()0fx在(,)+上恒成立，故函数()f x在(,)+上单调递增.13 分 当2a 时，ln()02a，所以当(,0)(ln(),)2ax+时，()0fx，故函数()f x在(,0)和(ln(),)2a+上单调递增；当(0,ln()2ax时，()0fx，故函数()f x在(0,ln()2a上单调递减.15 分 17.解：（1）设CD的中点为E，连接PE，则由题意得,Q P E三点共线且PECD，因为PQx=，3 2ADBC=，8CD=，所以2(3)16
5、,(0,3)PCPDxx=+.1 分 所以22(3)16yPQPCPDxx=+=+，(0,3)x，3 分 整理得22625yxxx=+，(0,3)x.4 分 因为PCD=，所以4cosPCPD=，4tanPE=，(0,)，其中3tan4=5 分 所以434tan2cosyPQPCPD=+=+，(0,)，7 分 高三数学试题答案（第 3 页，共 6 页）整理得84tan3cosy=+，(0,)，其中3tan4=.8 分（2）若选y关于x的函数关系式，即22625yxxx=+，(0,3)x.所以22226(3)11 2625625xxyxxxx=+=+，(0,3)x.10 分 令0y=，解得4 3
6、33x=或4 333x=+（舍），所以当4 3(0,33x时，0y，函数在4 3(0,33上单调递减，当4 33,3)3x时，0y，函数在4 33,3)3上单调递增，12 分 所以当4 333x=时，函数取得最小值，13 分 即4 3(3)3PQ=百米时，道路总长度最小.15 分 若选y关于的函数关系式，即84tan3cosy=+，(0,)，其中3tan4=，所以84sin3coscosy=+，(0,)，所以2228sin48sin4coscoscosy=，(0,)，10 分 令0y=，即8sin40=，解得6=，因为33tan43=，所以6 所以当(0,6时，0y，函数在(0,6上单调递减，当,)6时，0y，函数在,)6上单调递增，13 分 所以当6=时，函数取得最小值，14 分 故6PCD=时，道路总长度最小.15 分 18.解：（1）因为cos(3sin1)aCAcb+=，高三数学试题答案（第 4 页，共 6 页）所以由正弦定理得：sincos3sinsinsinsinACACCB+=，1 分 因为ABC+=，所以sincos3sinsinsin()sinACACACC+=+，即
