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1、第 1 页 共 4 页达州市普通高中 2025 届第一次诊断性测试数学 参考答案一、单项选择题1.C2.A3.A4.B5.C6.D7.D8.B二、多项选择题9.AB10.AC11.BCD三、填空题12.213.9014.23216四、解答题15.解：（1）当1n 时，112Sa，当2n时，221(1)(1)nSnnnn，12nnnaSSn，当1n 时，122 1a，2nan.设等比数列的公比为q，由题得121123,8bqbq，解得12b，2q，2nnb.（2）由（1）知21112(1)(1)1ncnnn nnn，123nnTcccc11111111112233411nTnnn ，1111nn

2、Tnn 16.解：（1）在ABC中由正弦定理得2 sinaRA，2 sinbRB，2 sincRC，代入已知化简得，sincoscossinsinsin()ACACBAC，sin(sinsin()ACBAC）.又在ABC中有ACB，sin(sin()sinACBB），即sinsinsin()BBAC.又在ABC中有sin0B，AC ，sin()1AC，2AC，2AC.第 2 页 共 4 页（2）由正弦定理得25sin52 52 5cC，由（1）知02C，2 5cos5C，2 5sinsin()cos25ACC.又2 5sin52 5aA，4a.又23sinsin()sin(2)cos212si

3、n25BACCCC.ABC的面积11312sin4 22255SacB .17.解：（1）如图，连接AC交BD于点O，ACBD.连接PO，根据正四棱锥的性质知PO 平面ABCD，即PO为正四棱锥的高，2PO，又22114 22333VABPOAB，解得2AB.易知OA，OB，OP互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，(0,0,2)P，(2,0,0)A，(0,2,0)D.设平面PAD的法向量(,)x y zm，0,0PADA mm，0,0 xzxy，令1x，则1y ，1z，平面PAD的一个法向量(1,1,1)m.又OABD，OAPO，BDPOO，OA 平面PBD.平面PBD的一个法向量

4、(1,0,0)n，13cos,|33|m nm nmn.平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值为33.（2）由（1）知2PA，2ABAD，2 2AC.由题知2秒后该蚂蚁等可能在点A，B，C，D，记2秒后该蚂蚁与点A的距离为X，则d的所有可能取值为0，2，2 21(0)4P X，111(2)442P X，1(2 2)4P X X 的分布列为：X022 2P141214PABCDOxyz第 3 页 共 4 页1112()022 214242E X 18.解：（1）2()(1)2(1)(1)(1)(31)fxxxxxx，令()0fx，解得13x ，或1x.()f x在1(,)3 上单调递增，在1(,1

5、)3上单调递减，在(1,)上单调递增，函数()f x的极大值为132()327f，极小值为(1)0f.(2)令3()()()lnh xf xg xxax，33()0 xah xx，13()3ax.又x 0，03ea，()h x在13(0,()3a上单调递减，在13(),)3a上单调递增.13()()ln(1 ln)333333aaaaaah xh，03ea，0e3a，0ln13a，(1 ln33aa)0.即当03ea时，()0h x 恒成立，当03ea时，()()f xg x.（3）设2()()1ln2F xg xaxxx，()21aF xxx=.当0a时，()0F x在(0)，上恒成立，()

6、F x在(0)，上单调递减.即对任意(01)x，的都有()(1)0F xF与()0F x 矛盾，0a不满足题意.当0a 时，22()2axxaF xxxxx=，设2()2d xxxa，081a，关于x的方程()0d x 有两根，048111ax，048112ax，0)(,0 xFx的解为20 xx，即()F x在2(0,)x上单调递增，在2(,)x 上单调递减,22222()()ln2F xF xaxxx.2222()20d xxxa，2222axx，22222222()(2)ln2F xxxxxx.222()(41)ln0F xxx的解为12x，即2()F x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.2()(1)0F xF，只有当12x时，即14811a，3a 时才满足题意.实数a的值为3.第 4 页 共 4 页19.解：(1)设曲线M上任意点(,)x y，由3,2xxyy 得,32xxyy，又221xy，22194xy，即M的方程为22194xy.(2)22221xyab：(0)ab，点00()H xy，l通 过 变 换1,:1xxayyb 得 到22:1xy，00(,)xyH